Chapter Review 7

弧度制与扇形、弓形面积 - 第七章综合练习卷

一、选择题（每题4分，共20分）

\( 60^\circ \) 转换为弧度是（）
A. \( \frac{\pi}{6} \) B. \( \frac{\pi}{4} \) C. \( \frac{\pi}{3} \) D. \( \frac{\pi}{2} \)

\( 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \) rad

答案：C

若圆的半径为 5 cm，圆心角为 \( \frac{\pi}{4} \) rad，则弧长为（）
A. \( \frac{5\pi}{4} \) cm B. \( 5\pi \) cm C. \( \frac{4\pi}{5} \) cm D. \( \frac{\pi}{20} \) cm

弧长公式：l = rθ = 5 × (π/4) = 5π/4 cm

答案：A

扇形半径为 3 cm，面积为 \( \frac{9\pi}{4} \) cm²，则圆心角为（）
A. \( \frac{\pi}{4} \) rad B. \( \frac{\pi}{2} \) rad C. \( \pi \) rad D. \( \frac{3\pi}{4} \) rad

扇形面积公式：A = (1/2)r²θ
变形：θ = 2A/r² = 2 × (9π/4) / 9 = (9π/2) / 9 = π/2 rad

答案：B

弓形对应的圆心角为 \( \frac{\pi}{2} \) rad，半径为 4 cm，则弓形面积为（）
A. (8π - 8) cm² B. (4π - 8) cm² C. (2π - 4) cm² D. (8 - 4π) cm²

弓形面积公式：A = (1/2)r²(θ - sin θ)
= (1/2)×16×(π/2 - sin(π/2)) = 8×(π/2 - 1) = 4π - 8 cm²

答案：B

若扇形周长为 10 cm，半径为 3 cm，则扇形面积为（）
A. 3 cm² B. 6 cm² C. 9 cm² D. 12 cm²

扇形周长 = 2r + l = 10 cm
l = 10 - 6 = 4 cm
θ = l/r = 4/3 rad
面积 A = (1/2)r²θ = (1/2)×9×(4/3) = (9/2)×(4/3) = 6 cm²

答案：B

二、填空题（每题5分，共20分）

\( \frac{3\pi}{4} \) rad 转换为角度是______°。

\( \frac{3\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \times 180}{4} = 135^\circ \)

答案：135

圆的半径为 6 cm，弧长为 4π cm，则圆心角为______ rad。

θ = l/r = 4π/6 = (2π/3) rad

答案：\( \frac{2\pi}{3} \)

扇形半径为 2 cm，圆心角为 \( \frac{\pi}{3} \) rad，则扇形面积为______ cm²（结果保留 π）。

A = (1/2) × 2² × (π/3) = (1/2) × 4 × (π/3) = 2π/3 cm²

答案：\( \frac{2\pi}{3} \)

弓形半径为 5 cm，圆心角为 \( \frac{\pi}{2} \) rad，则弓形面积为______ cm²（结果用含 π 的式子表示）。

A = (1/2) × 5² × (π/2 - sin(π/2)) = (25/2) × (π/2 - 1) = (25/2)(π/2 - 1)

答案：\( \frac{25}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \)

三、解答题（共60分）

10.（10分）

已知扇形的圆心角为 120°，半径为 9 cm，求：
- 弧长（转换为弧度后计算）；
- 扇形面积。

解：
120° = 120 × (π/180) = (2π/3) rad
弧长 l = rθ = 9 × (2π/3) = 6π cm
扇形面积 A = (1/2)r²θ = (1/2) × 81 × (2π/3) = (81/2) × (2π/3) = 27π cm²

答案：弧长 6π cm；扇形面积 27π cm²

11.（12分）

圆的半径为 8 cm，某扇形的弧长为 12 cm，求：
- 圆心角的弧度值；
- 扇形的面积；
- 扇形的周长。

解：
圆心角 θ = l/r = 12/8 = 3/2 rad
扇形面积 A = (1/2) × 8² × (3/2) = (1/2) × 64 × (3/2) = 32 × (3/2) = 48 cm²
扇形周长 = l + 2r = 12 + 16 = 28 cm

答案：圆心角 3/2 rad；扇形面积 48 cm²；扇形周长 28 cm

12.（14分）

如图，扇形 AOB 中，OA = OB = 10 cm，圆心角 ∠AOB = \( \frac{2\pi}{3} \) rad。
- 求弧 AB 的长度；
- 求扇形 AOB 的面积；
- 求弓形 AB 的面积（参考 sin \( \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)）。

解：
弧 AB 的长度 l = rθ = 10 × (2π/3) = 20π/3 cm
扇形 AOB 面积 = (1/2) × 10² × (2π/3) = (50) × (2π/3) = 100π/3 cm²
三角形 AOB 面积 = (1/2) × 10² × sin(2π/3) = 50 × (√3/2) = 25√3 cm²
弓形 AB 面积 = 100π/3 - 25√3 cm²

答案：弧长 \( \frac{20\pi}{3} \) cm；扇形面积 \( \frac{100\pi}{3} \) cm²；弓形面积 \( \frac{100\pi}{3} - 25\sqrt{3} \) cm²

13.（12分）

扇形的周长为 24 cm，面积为 32 cm²，求扇形的半径和圆心角（单位：弧度）。

解：
设半径为 r，圆心角为 θ
周长：2r + rθ = 24
面积：(1/2)r²θ = 32

从面积公式：θ = 64/r²
代入周长：2r + r × (64/r²) = 24
2r + 64/r = 24
乘以 r：2r² + 64 = 24r
2r² - 24r + 64 = 0
r² - 12r + 32 = 0
(r - 4)(r - 8) = 0
r = 4 cm 或 r = 8 cm

当 r = 4 cm 时：θ = 64/16 = 4 rad
当 r = 8 cm 时：θ = 64/64 = 1 rad

答案：r = 4 cm, θ = 4 rad 或 r = 8 cm, θ = 1 rad

14.（12分）

一个圆形花坛的半径为 5 m，现要在花坛中划出一个扇形区域种植花卉，扇形的圆心角为 \( \frac{\pi}{2} \) rad。
- 求扇形区域的弧长和面积；
- 若每平方米花卉成本为 20 元，求种植该扇形花卉的总成本。

解：
弧长 l = rθ = 5 × (π/2) = 5π/2 m
面积 A = (1/2)r²θ = (1/2) × 25 × (π/2) = 25π/4 m²
总成本 = (25π/4) × 20 = 125π ≈ 392.7 元

答案：弧长 \( \frac{5\pi}{2} \) m；面积 \( \frac{25\pi}{4} \) m²；总成本 125π 元